数学中函数的演变简史

该函数应被视为数学中最重要的概念之一,它也是我们已经联系过的数学对象。从小学到大学,功能可以说无处不在。 
现在我们以非常简单的方式定义函数。但是,功能概念的发展并不顺利。大量的数学家花了将近三个世纪的时间来形成一个成熟的功能演讲。  
自然现象和规律的数学表达和研究应该说是现代发展的重要原因。科学,这个功能在这个过程中起着决定性的作用。 
根据现有数据,函数概念的原型首先出现在散文圈和格雷戈里1638~1675的双曲线的产物中。他将该函数定义为通过一系列操作通过其他数量获得的数量。 
但是在牛顿创立微积分理论之前,他并不确切地知道函数是什么,而只是用流数的概念来表达变量之间的关系。长期以来,由于功能概念的模糊性,微观
点理论一直存在争议。 
尽管如此,不那么严谨的微积分理论在数学内外产生了很多结果,但严谨性总是像数学家一样悬挂在达摩克利斯之剑上。  
事实上,单词函数来自数学名词和象征神圣的莱布尼兹。他在1673年首次使用了单词function并提出了变量和参数的概念,这与今天的函数非常接近。 
牛顿和莱布尼兹时代的功能基本上是为了适应微积分理论。也就是说,这些函数可以由自变量清楚地表达,并且满足诸如可传导性的更严格的条件。 
但是数学家很快发现,函数的分析性质极大地限制了可以研究的研究范围,并且出现了连续函数的概念,这被称为几何函数。 
这个时期的功能都有很强的几何色彩。也就是说,数学家所关心的功能可以通过图像来表示,并且可以直观地感知功能的属性。  
直观的功能概念远远不够发展由于数学本身的发展,功能理论的发展很快就走上了抽象的过程。 
现在我们的共同函数标记fx是由欧拉在1734年提出的。从那时起,函数理论开始走上一条独立的发展道路。 
 1769年,D'Alembert首次在他的研究中获得了函数方程:  
后来,Cauchy得到了更多具有数学和物理意义的函数方程,并开始系统地研究解的功能方程式,取得了很多成果。 
但实际上,许多重要且困难的函数方程问题都是由Abel解决的。同时,亚伯极大地推动了椭圆函数理论的发展,功能理论的发展得到了质的改进。  
在欧拉和拉格朗日之前,数学家和物理学家研究的函数是在定义范围内全局定义,直到欧拉和拉格朗日首次提出弦的物理振动。 
在不同的
区间上具有不同表达式的函数。 
当时,物理学的直观性给了数学家一种错觉,即在同一区间内具有相同函数值的两个函数具有完全相同的函数,即它们具有相同的表达式。 
但傅立叶终于揭露了这种错误。 
在傅立叶着名的热分析理论中,他创造性地使用三角形系列来表达函数,从而给出了一个反例:  
从这里我们可以看出,尽管两个函数的值都是在任何地方都可以是相同的,它们可以有不同的表达方式,它们所代表的含义可以是不同的。它们不能称为完全相同的功能。 
傅立叶的结果立刻引发了数学世界的强烈冲击,甚至像拉格朗日这样的伟大人物也是不可接受的。 
这些表明,对函数的直观理解已不再适用于数学的发展。  
 19世纪早期,经典函数概念的缺陷变得越来越多。更明显。如果傅立叶揭示的问题不是一个大错误,那么从Dirichlet开始,该功能的经典概念将受到致命的打击。 
在此之前,在微积分教科书中,我们可以得出结论:连续函数必须在某些连续点上可操作。即使是当时的大数学家也不会感到任何问题。 
事实上,这种误解主要是因为对功能的理解还没有摆脱直觉的想象,同时功能的连续性和传导性意味着什么,当时的数学家并没有想到在1829年,Dirichlet迈出了严谨的微积分的第一步,他给出了着名的Dirichlet函数:  
数学家们惊讶于发现Dirichlet函数在任何地方都不是连续的并且不是通用的,并且在任何区间都没有Riemann积分。 
 Dirichlet函数的极度扭曲的分析性质甚至比傅立叶的例子还要大,对于一些顽固的数学家来说甚至是致命的,因为这个函数不能直接绘制它的图像。 
出来,根本就没有分析性质,也没有办法想象它。 
基于长期考虑,Dirichlet给出了我们今天在1837年看到的函数的定义:给定区间上的自变量x具有对应于它的唯一因变量y,则y是x的函数。 
在集合理论出现之后,在1887年,Dedkin给出了两组之间函数的定义,从那以后函数就摆脱了直观和清晰的定义。  ## #Dirichlet可能是第一个真正考虑历史抽象功能的数学家。他关心函数的单调性,连续性,可诱导性等,而忽略函数的实际来源和物理几何意义。 
 Dirichlet关注函数本身的性质,而不是关于它的各种计算。 
应该说,从Dirichlet,对函数的理解已经从具体到抽象,并且事实证明,这不仅不偏离现实,而且促进函数的各种应用,因为数学想要发挥作用更大的角色。 
然后它必须有一个坚实可靠的基础。  
 Dirichlet开始敞开心扉。
柯西开始在极端和连续性等概念中注入严格的灵魂,但他仍然没有摆脱持续的限制。 
在Cauchy手中,他认为的功能是连续的,这对于数学本身或物理学等相关学科来说是不够的。 
第一个突破连续性限制的人是伟大的黎曼。在发展黎曼积分理论的过程中,黎曼给出了另一个着名的函数,即今天我们称之为黎曼函数的函数:  
黎曼函数在理性点处是不连续的,在无理的情况下是连续的点,但令人惊讶的是它是可积的,它揭示了可积函数和接触函数之间的巨大差异。 
然而,仅限于历史限制,黎曼也未能突破过度不连续的影响,这将留给后代解决。  
分析的严谨性很长数学史上数百年的过程,这个系列的主人是着名的现代分析之父Weierstras。 
 Weierstras被称为数学谣言的终结者。他利用自己强大的数学直觉为一些错误的数学思想构建了许多反例。最着名的是他给予持续的连续性。 
但是到处都无法实现的功能:  
对于这样一个连续但非衍生的功能,法国着名数学家Elmi当时就是:我害怕并且不愿面对这样的一个没有衍生物的连续函数,但不幸的是,这是事实。 
许多数学家错误的数学概念已经被这个功能打破了,它再次表明数学的灵魂是严格的而不是直觉的。  
当然,Welstras不满足于只是指出问题,他决心结束两百年的微积分理论的混战。 
 Weilstras的伟大之处在于,他可以从无人问津的普通细节中创造奇迹,这可以被描述为腐朽。 
他观察到函数本身并不是实际决定函数的本质,而是实数。实数的性质完全决定了极限,连续和微转换函数的概念。关于函数概念的模糊性恰恰是因为对实数的理解是不够的。 
。  
从实数中推导出各种函数概念的想法在当时被许多数学家所嘲笑,他们都认为Weierstras正在惹麻烦。 
然而,Weierstras显然没有遭受这些干扰。他严格构建了一个完整的实数系统,并从实数系统中定义了系列的极限,连续性,微导率,可积性和收敛性。 
性等等,从而解决了不严格的功能概念的长期问题,分析基于严谨而坚实的数学基础,并成功完成了分析算法。  \\ n 
关于Weierstras的伟大优点,Hilbert评论说:  
凭借对关键性和深刻洞察力的热爱,Weilstras为数学分析奠定了坚实的基础。 
通过澄清极小,最大,函数,导数等概念,他排除了仍存在于微积分中的各种错误参考,消除了关于无穷大和无穷大的各种混淆,并果断地克服了起源。 
 Infinity,infinity 
思考困难。 
今天,分析能够达到如此和谐,可靠和完美的程度主要归功于Welstras的数学活动。
 

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